Celem było przygotowanie wzorów, które przyłożone od środka do powierzchni szklanki pozwoliłyby na łatwiejsze naniesienie ich na powierzchni szkła. Efekt końcowy wygląda następująco:

Zapraszam do lektury!

Pomysł pojawił się dawno temu wraz z zakupem narzędzia szybkoobrotowego Dremel. Wkrótce dokupiłem frezy diamentowe, które pozwalają na nanoszenie wzorów bezpośrednio na powierzchnię szkła. Efekty mogą być wspaniałe:

Wkrótce zakupiłem w sklepie Ikea szklanki, których kształt i kolor wydał mi się odpowiedni. Następnie skupiłem się na przygotowaniu kawałka papieru o kształcie takim samym, jak wnętrze szklanki. Z matematycznego punktu widzenia będzie to powierzchnia boczna stożka ściętego (ang. frustrum cone). Myślałem, że po wpisaniu w wyszukiwarce stosownego hasła wyskoczą mi wszystkie niezbędne parametry i zależności. Nic z tego. Skończyło się na tym, że usiadłem do kartki papieru i zmusiłem się do przypomnienia sobie kilku zależności...

Przede wszystkim musiałem ustalić, jakie parametry jestem w stanie zmierzyć. Są to:

1. wysokość wewnętrzna szklanki h (ang. height),
2. średnica dna szklanki d₂ (ang. diameter),
3. średnica górnego otworu szklanki d₁ (ang. diameter).

Teraz stosowny rysunek (wersja elektroniczna w formacie .svg do pobrania tutaj):

Kolejnym krokiem było uświadomienie sobie, jak wygląda powierzchnia stożka ściętego po rozprostowaniu. Wygląda na to, że do jej opisania wystarczą tylko 3 wielkości:

1. średnica okręgu cięcia stożka fr1 (ang. frustrum diameter),
2. średnica okręgu pełnego stożka fr2 (ang. frustrum diameter),
3. kąt tworzący stożek Θ.

Do rozwiązania wiedzie kilka alternatywnych rozwiązań. Moje jest następujące. Przyjrzyjmy się teraz stożkowi i wyciętemu z niego stożkowi ściętemu z boku, czyli w wyobraźni stwórzmy sobie rzut boczny. Teraz wyobraźmy sobie tylko połowę tego rzutu, czyli trójkąt prostokątny idący od wierzchołka stożka do jego podstawy wraz z odcinkiem łączącym ich końce:

Widzimy, że te trójkąty są do siebie podobne. Wobec tego korzystam z twierdzenia Talesa. Stosunek przyprostokątnych w "małym" trójkącie oraz w "dużym" trójkącie:

Jedyną niewiadomą w tym równaniu jest H. Zatem przekształcam równanie w taki sposób, by H wyznaczyć:

Teraz w "dużym" trójkącie, który jest trójkątem prostokątnym, nie znamy tylko wartości fr₂. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Teraz w "małym" trójkącie, który też jest trójkątem prostokątnym, nie znamy tylko wartości fr₁. Ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Do wyznaczenia pozostała ostatnia niewiadoma, czyli kąt Θ. Patrząc na pierwszy rysunek oraz pamiętając definicję miary łukowej kąta:

W tym miejscu kończę, chociaż być może należałoby jeszcze podstawić do powyższego wzoru wcześniej wyprowadzoną zależność na fr₁ lub fr₂.

Aż się prosi, by dla powyższych zależności przygotować stosowny arkusz kalkulacyjny, który będzie błyskawicznie wyznaczał stosowne zależności. Przygotowałem taki arkusz w formacie Libre Office (.ods). Jest do pobrania tutaj.

Mając wyliczone niezbędne wartości parametrów pozostało narysować stosowny kształt. Mój wybór padł na Inkscape, czyli format .svg. Potrafię sobie wyobrazić, że stosowny kształt mógłby przygotowywać stosowny skrypt przygotowany w języku Python. Nie starczyło mi energii, by taki skrypt przygotować. Może kiedyś... Inkscape pozwolił mi nie tylko na wyrysowanie kształtu powierzchni bocznej stożka ściętego, ale także na przygotowanie elementów grafiki:

1. Import logo firmy voestalpine w postaci pliku .png i zamiana na wektory. Niestety znalezione w Internecie logo w formacie .svg powodowało wywalanie się Inkscape'a. Prawdopodobnie plik nie został prawidłowo zapisany. Wolałem wobec tego samodzielnie przygotować logo. Po przekształceniu do krzywych jest do pobrania tutaj. Należało skorzystać z funkcji Inkscape: Path -> Trace Bitmap.
2. Ułożenie obiektów na krzywej. W tym przypadku obiektami były litery napisu. Należało skorzystać z funkcji Inkscape: Extensions -> Generate from Path -> Pattern along Path...
3. Import obiektów wektorowych z pliku .pdf. Posłużyłem się stosownym plikiem pokazującym rozmieszczenie obiektów srk na jednej z rzeczywistych linii kolejowych.
4. Skalowanie obiektów wektorowych.
5. Szczególnie przydatna okazała się funkcja duplikowania obiektów (Ctrl + D), w szczególności okręgów. Po zduplikowaniu okręgi nadal mają wspólny środek. Skalowanie z zachowaniem proporcji: (Ctrl + Shift).Tworzenie okręgu z jednakowym wymiarem w osi X oraz w osi Y: (Ctrl + Alt).

Kilka słów o pomiarach. Mierzenie czegokolwiek zawsze obarczone jest pewnym błędem. Do pomiarów posłużyłem się linijką pomiarową, a więc taką wersją linijki, która ma "zero w zerze", co oznacza, że początek linijki pokrywa się z zerem. Ponadto jest ona wykonana z taśmy ze stali, a podziałka jest precyzyjnie nacięta. Czasami w takich linijkach stosowana jest podziałka 0,5 mm, a nie jak w typowej linijce biurowej 1 mm. W przypadku takiego sformułowania problemu, jak wyżej, należało zmierzyć dwie średnice i wysokość. Gdybym dysponował np. kątomierzem elektronicznym, zestaw danych wejściowych mógłby się składać z jednej średnicy, kąta nachylenia ścianki oraz długości krawędzi. Itp. itd. Wybrany zestaw danych wejściowych wydał mi się po prostu najprostszy do zmierzenia. Gdy jednak okazywało się, że na przykład źle oszacowałem wysokość, zmieniała się też przynajmniej jedna ze średnic. Wykonałem kilka wersji stożka ściętego i metodą prób i błędów zbliżyłem się do pożądanego kształtu. Pliki, które posłużyły mi jako wzorniki dla dalszych prac do pobrania tutaj oraz tutaj.

Wydruki wykonywałem na drukarce laserowej. Następnie wycinałem stosowny kształt nożyczkami i sklejałem taśmą klejącą. Wreszcie za pomocą spinaczy przyczepiałem uzyskany kształt do powierzchni szklanki. Teraz wystarczyło odwzorować kształt na powierzchni szklanki za pomocą narzędzia szybkoobrotowego Dremel. Polecam zastosowanie wałka giętkiego oraz wieszaka. Wycięcie takiego kształtu jak na poniższych zdjęciach zabrało mi około 70 minut.

Kilka zdjęć efektu końcowego:

Komentowanie za pomocą rozszerzenia JComments zostało wyłączone. Zapraszam do dodawania komentarzy za pomocą aplikacji Disqus.